ボンジュール・マドモアゼル

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[明解ガロア理論 [原著第3版]] 明解ガロア理論 [原著第3版] 学習ノート

 

110頁
補題8.16 の証明
Pj はすべての j について既約であって,P(ζjt) = g(t)h(t) のときP(t) = g(ζ-1t)h(ζ-1t)である.

112 頁
定理8.14 の証明
とくに x は m(t) の零点であるが,一方で m(t) のすべての零点は L に属する.したがってα, x0, x2, ..., xp-1 ∈ L である.

明解ガロア理論 [原著第3版]

上で引用した箇所に不可解な点があり、それらを次のpdf資料で明らかにしました。

http://14.dtiblog.com/m/monado/file/galois_note.pdf

[明解ガロア理論 [原著第3版]] スチュアートの明解ガロア理論の疑問点

 
スチュアートの明解ガロア理論の疑問点

定理 8.8
一般多項式の方程式 F( t ) = 0 がルフィニのベキ根で解けるとは、部分体の有限拡大列

        K = K0K1 ⊆ … ⊆ Kr = L

が存在して,j = 0, ..., r - 1 に対して

Kj + 1 = Kjj )    かつ    αjnjKj        ( nj  ≥  2,     nj  ∈  N )


となることである。

明解ガロア理論 第8章  ガロア理論の背後にあるアイディア より



ここで,K は,独立変数 tj  ( 0 ≤ jr - 1 ) に関する基本対称式の有理関数全体の集合であり、L は,tj からなる有利関数全体の集合である。

K = C(s1, ... , sn)
L = C(t1, ... , tn)


定理8.8 満たされるなら、t1,...tnL だから,L の元 tj は,ベキ根、加減乗除を用いて,sjで表現できる(根の公式が存在する)のは,なんとなくわかる。
しかし、公式の存在を示すだけで、公式が発見できることは保証されるのだろうか。
この定理は、冪による解の表現可能性を謳ったものと捉えればよいのだろうか。